正解：A
各施設に接続する散策路の数（次数）を数える。一筆書きができる条件は、接続数が奇数である点（奇点）が0個または2個であることだ。現在の配置では、奇点がC・D・F・Gの4個ある。奇点を2個に減らすには、奇点同士を結ぶ散策路を1本取り除く必要がある。奇点同士を結ぶ散策路は「C-F」「D-G」「F-G」の3通りあり、このうち選択肢にあるのは「F-G」のみである。F-Gを通行止めにするとFとGが偶点になり、奇点はCとDの2個になる。したがって、通行止めにする散策路はF-Gであり、正解はAである。

正解：B
各図形に接続する線の数が奇数である点（奇点）の数を数える。一筆書きができる条件は、奇点が0個または2個であることだ。
Aは正方形に対角線を1本加えた図形で、対角線の両端（左上・右下）に3本の線が集まり奇点が2個となるため一筆書きができる。Cは正方形の内部に菱形がある形で、全頂点が4本の線で接続され奇点が0個となるため一筆書きができる。
一方、Bは奇点が4個、Dは辺の中点4箇所が奇点で4個、Eは四隅すべてに3本の線が集まり奇点が4個となるため、B・D・Eはいずれも一筆書きができない。
したがって、一筆書きができるものはAとCの組み合わせである。

正解：D
この通路網の交点は3×3＝9箇所ある。各交点の次数を確認すると、四隅の4点（次数2）と中心の1点（次数4）は偶点、上下左右の辺の中点4点（次数3）は奇点となる。奇点が4個あるためそのまま一筆書きはできず、奇点同士を結ぶ経路を重複して通る必要がある。奇点4個を2組のペアに分け、重複距離が最小になる組み合わせを考える。隣り合う奇点同士をペアにすると、1組あたりの最短経路は30m（15m×2）となり、重複距離の合計は60m（30m＋30m）となる。したがって、最小の重複距離は60mとなり、総延長180m＋60m＝240mが最短距離となる。

正解：D
各アトラクションに接続する遊歩道の数（次数）を数える。一筆書きができる条件は、接続数が奇数である点（奇点）が0個または2個であることだ。また、奇点が2個の場合は、その2点が始点・終点となる必要がある。現在の配置では、奇点がS・B・C・Fの4個ある。奇点を2個に減らすには、奇点同士を結ぶ遊歩道を1本取り除く必要がある。奇点同士を結ぶ遊歩道は「S-B」「S-C」「B-C」「C-F」の4通りあるが、Sはスタート（始点）のため奇点である必要がある。したがって、通行止めにできるのは「B-C」または「C-F」に絞られる。さらに、終点はBであるため、Bも奇点である必要がある。したがって、通行止めにする遊歩道はC-Fである。これを通行止めにするとCとFが偶点となり、奇点はSとBの2個になって一筆書きが可能となる。よって、正解はDである。

正解：C
一筆書きができる条件は、奇点が0個または2個であることだ。すべての頂点同士が結ばれている図形において、各頂点から出る線の数は「頂点の数－1」となる。頂点の数が奇数の場合、各頂点から出る線の数は偶数となり、すべての頂点が偶点となるため一筆書きができる。一方、頂点の数が偶数の場合、各頂点から出る線の数は奇数となり、奇点が4個以上存在するため一筆書きができない。したがって、一筆書きができる図形は正奇数角形（正七・正九・正十一・正十三・正十五・正十七角形）の6個である。

正解：D
各図形で、接続する線の本数が奇数である点（奇点）の数を調べる。一筆書きができる条件は、奇点が0個または2個であることだ。Aは奇点が0個、B・C・Eは奇点が2個であるため、すべて一筆書きができる。これに対し、Dは縦横1本ずつの線で4等分すると交点が9箇所（3×3）生じる。四隅の4点（次数2）と中心の1点（次数4）は偶点だが、上下左右の辺の中点4点にはそれぞれ3本の線が集まるため奇点となる。奇点が4個あるため一筆書きができない。したがって、一筆書きができない図形は D である。

正解：C
この区画網の交点は3×4＝12箇所ある。各交点の次数を確認すると、四隅の4点（次数2）と内部の2点（次数4）は偶点、長辺（上下）の各2点・短辺（左右）の各1点の計6点（次数3）が奇点となる。
奇点が6個あるため、3組のペアに分けて重複距離を最小にする組み合わせを考える。各奇点間の最短距離を確認すると、「上辺の中間2点間（10m）」「下辺の中間2点間（10m）」「左辺中間と右辺中間（30m）」をペアとした場合に合計10m＋10m＋30m＝50mとなる。他の組み合わせを考慮しても重複距離は50m以上となるため、最小の重複距離は50mである。
したがって、総延長170m＋50m＝ 220mが最短距離となる。

正解：C
一筆書きができる条件は、奇点が0個または2個であることだ。すべての頂点同士を結んだ（すべての対角線を引いた）図形において、各頂点から出る線の数は「頂点の数－1」となる。
頂点の数が奇数の場合、各頂点から出る線の数は偶数となり、すべての頂点が偶点となるため一筆書きができる。正三角形には対角線が存在しないが、各頂点に集まる線は辺の2本（偶数）であり、全頂点が偶点となるため一筆書きが可能である。
一方、頂点の数が偶数の場合、各頂点から出る線の数は奇数となり、奇点が4個以上生じるため一筆書きができない。
したがって、一筆書きができる図形は正奇数角形（正三・正五・正七・正九・正十一・正十三・正十五角形）の7個である。